La distribución de Benford recibe su nombre de Frank Benford, un físico estadounidense que publicó un artículo en 1938 en el que demostró empíricamente que el primer dígito distinto de cero en muchos tipos de datos (longitudes de ríos, poblaciones metropolitanas, constantes universales en los campos de la física y la química, números que aparecen en artículos de primera plana de periódicos, etc.) sigue aproximadamente una distribución logarítmica.
Nonono. ¿Perdona?. What the fuck.
De hecho, el renombrado astrónomo Simon Newcomb ya había observado un resultado empírico similar. En 1881, Newcomb publicó un breve artículo en el que observó que las primeras páginas de los libros de referencia que contenían tablas logarítmicas estaban mucho más desgastadas y con las esquinas dobladas que las páginas posteriores. Descubrió que los números enteros que comenzaban con 1 se consultaban con más frecuencia que los que comenzaban con 2, y estos últimos con más frecuencia que los que comenzaban con 3, y así sucesivamente. Para los dígitos del 1 al 9, Newcomb halló las siguientes frecuencias relativas:
30,1%, 17,6%, 12,5%, 9,7%, 7,9%, 6,7%, 5,8%, 5,1%, 4,6%
lo cual concuerda con la fórmula matemática. Este resultado quedó prácticamente en el olvido hasta que Benford publicó su artículo en 1938, en el que presentó una gran cantidad de evidencia empírica que respaldaba la ley logarítmica. El artículo de Benford recibió más atención de la que hubiera tenido de otro modo, en parte debido a su afortunada ubicación en la revista que lo publicó: justo después del artículo, muy citado, de un famoso físico. Esto llevó a que el resultado redescubierto se denominara ley de Benford en lugar de ley de Newcomb.
La ley de Benford tiene la notable característica de ser invariante a la escala: si un conjunto de datos se ajusta a la ley de Benford, lo hace independientemente de la unidad física en la que se expresen los datos. Ya sea que la longitud de los ríos se mida en kilómetros o millas, o que las opciones sobre acciones se expresen en dólares o euros, no hay diferencia para la ley de Benford. Dicho esto, hay algunos tipos de conjuntos de datos que no se ajustan a la ley de Benford. Tomemos, por ejemplo, las pruebas de tiempo de los 400 metros olímpicos. Este conjunto de datos no incluirá muchos tiempos de clasificación que comiencen con uno-
Pero si recopilas los números que aparecen en los artículos de primera plana de los periódicos, encontrarás que la ley de Benford se aplica más o menos. Esto va en contra de la intuición. Uno esperaría que, en un conjunto de datos formado aleatoriamente, cada uno de los dígitos del 1 al 9 apareciera como el primer dígito con la misma frecuencia, pero este, sorprendentemente, no es el caso. Una explicación matemática satisfactoria para la ley de Benford tardó mucho en llegar.
En 1996, el matemático estadounidense Ted Hill demostró que si se seleccionan números al azar de diversos conjuntos de números aleatorios, los números de la muestra combinada se ajustan aproximadamente a la ley de Benford. Esta es una descripción perfecta de lo que sucede con los números que aparecen en los titulares de los periódicos.
Aunque pueda parecer extraño a primera vista, el fenómeno de la ley de Benford tiene importantes aplicaciones prácticas. En particular, se puede utilizar para investigar datos financieros: datos de impuestos sobre la renta, datos de gastos corporativos y estados financieros de empresas. Los contadores forenses y las autoridades fiscales utilizan la ley de Benford para identificar posibles fraudes en transacciones financieras. Muchos datos contables cruciales, desde cifras de ventas hasta deducciones fiscales, se ajustan a la ley de Benford, y las desviaciones se pueden identificar rápidamente mediante controles estadísticos sencillos. Una desviación no indica necesariamente fraude, pero sí activa una señal de alerta que impulsa una investigación más profunda para determinar si existe o no un caso de fraude.
Esta aplicación de la ley de Benford fue aplicada con éxito por primera vez por un fiscal de distrito en Brooklyn, Nueva York. Logró identificar y obtener condenas en casos contra siete empresas fraudulentas. En años más recientes, el esquema Ponzi fraudulento de Bernard Madoff —el artífice del mayor fraude financiero en la historia de Estados Unidos— podría haberse detenido antes si se hubiera utilizado la ley de Benford. Esta ley también puede emplearse para identificar fraudes en datos macroeconómicos.
Economistas del FMI la han aplicado para recabar pruebas que respalden la hipótesis de que algunos países manipulan sus datos económicos para obtener ventajas estratégicas, como hizo Grecia durante la crisis de la deuda europea. Esto es completamente distinto de su aplicación en tablas de logaritmos antiguas. Hoy en día, la ley de Benford tiene múltiples aplicaciones estadísticas en diversos ámbitos.
